O capítulo 5 de fundamentos trás um dos maiores desafios para os que querem ensinar matemática: aprender a formular a idéia intuitiva dos números...acredito que se assimilarmos bem esta matéria haverá uma facilitação considerável na subsequente evolução dos cálculos...
A seguir um exemplos simples de uso do Princípio da Indução :
1) Prove por indução que a soma dos n primeiros números naturais é dada por
S(n) = n (n+1) / 2
Temos: S(n) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n = n (n + 1) / 2
(a) É óbvio que S(1) se verifica pois, S(1) = 1 (1 + 1) / 2 = 1
(b) Supondo que S(n) é verdadeira, vamos desenvolver S(n + 1) :
S(n + 1) =
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n + (n + 1)
Usando a hipótese de indução, vamos substituir na expressão acima, o valor de
S(n).
Teremos:
S(n + 1) =
n (n + 1) / 2 + (n + 1)
Desenvolvendo o segundo membro, fica:
S(n +1) = [n (n + 1) + 2(n + 1)] / 2 = [(n + 1) (n + 2)] / 2 = [(n+1) [(n+1) + 1] / 2
que é a mesma fórmula para (n+1).
Logo, S(n) = n (n+1) / 2 é verdadeira para todo n natural.
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Tano Matemático
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