Segue o resumo do capítulo 3 para ajudar no estudo e dissertação.
RESUMO DO CAPÍTULO 3
A filosofia da matemática tenta evitar que sejamos parciais como assumir uma postura dogmática, repetindo algo aprendido como verdade absoluta sem que haja reflexão sobre o que está se propondo.
Logicismo, formalismo e intuicionismo foram modelos filosóficos que se relacionaram com as idéias de Kant. As raízes destes paradigmas talvez escondam a chave para os fundamentos da matemática de onde se torna necessário uma abordagem sobre a filosofia kantiana.
Para Kant o conhecimento matemático é um conhecimento da construção de conceitos. Na obra “Prolegômenos” cita que o conhecimento matemático deve ser representado na intuição pura (onde nada há além da forma da sensibilidade) e a priori e não em intuições empíricas.
Kant utiliza a geometria euclidiana para justificar sua tese sobre a intuição pura em relação à matemática, sustentando que espaço e tempo são formas da sensibilidade e consequentemente, condição de possibilidade de todo e qualquer fenômeno.
Kant não concorda com Leibniz a respeito do juízo que as equações matemáticas são. Para ele é necessário entender que há uma concepção de juízo distinta da analítica ou somente sintética. Existe na matemática o que chama de juízo sintético a priori. O argumento kantiano para mostrar que as proposições aritméticas e geométricas são sintéticas a priori é feito demonstrando à necessidade de recurso a intuição. Contudo, há divergências hoje em torno de suas ilustrações baseadas nos axiomas de Euclides. Mas o que importa para Kant, tendo em vista as dúvidas pertinentes aos seus exemplos, é que existem tais sentenças nas ciências.
AS GEOMETRIAS NÃO – EUCLIDIANAS
Com origem na dificuldade de demonstração do quinto postulado de Euclides surgem as geometrias–não euclidianas que tiveram sua utilização na teoria da relatividade, fazendo de Kant, não um refutado, mas um equivocado ao sustentar que a geometria euclidiana descrevia o espaço físico perceptual. Porém, as não-euclidianas também não o descrevem. Assim é anti-cientifico aderir a modelos de conhecimento (que podem evoluir) que expliquem o espaço perceptual.
FILOSOFIA, MATEMÁTICA E EDUCAÇÃO EM WITTEGENSTEIN
Ludwig Wittgenstein foi um dos filósofos que mais analisaram o logicismo, o formalismo e o intuicionismo, buscando promover um novo entendimento sobre a natureza do saber matemático. Para estabelecer as condições de possibilidade para que uma proposição tivesse sentido, ele comparou a mesma a uma figuração.
Escreve em seu livro “Tratactus” que “matemática é um método lógico”, relacionando-a a lógica, não sendo ele um logicista. Definindo os números como expoentes de uma operação, resultantes de uma construção, ele contraria as idéias de Platão. Porem não se compromete em dizer que os juízos matemáticos são meras tautologias.
Assim, tentou em sua obra tardia firmar uma concepção que superasse tanto a platônica como a convencionalista.
ENTRE O PLATONISMO E O CONVENCIONALISMO
Tractatus e Investigações Filosóficas são as grandes obras de Wittgenstein e segundo o próprio é indispensável que as duas sejam estudadas de maneira consecutiva para um melhor entendimento. Há pontos comuns entre as duas, principalmente a respeito da filosofia e descrição dos usos efetivos da linguagem humana. Existem algumas diferenças também nas obras do filósofo. Se no Tractatus há uma forma de analisar a linguagem, nas Investigações se evidencia que há uma pluralidade de métodos.
Wittgenstein discorre em Investigações contrariando a concepção agostiniana de linguagem, usando o conceito “jogos-de-linguagem” no qual questões matemáticas aparecem em suas exemplificações. Discute sobre a idéia de saber quando se está seguindo uma regra. Isso trouxe questões importantes relacionadas à determinação da mesma. Portanto, Investigações rejeita a filosofia platônica da matemática, pois para Wittgenstein o matemático é um inventor. Porém, isso não quer dizer que a matemática é puramente convencional para ele, tanto é que aderiu a idéia, apesar de ter uma concepção diferente de Kant, de que as regras matemáticas são juízos sintéticos a priori.
Concluindo, não há verdades eternas na matemática como em qualquer ciência deste mundo. Tudo está em evolução, promovendo um ilimitado desenvolvimento no conhecimento humano.
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